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三个三角形不等式的指数推广链及其类似

【作者】 黄兆麟

摘要】在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有a2sinA/2+b2 sin B/2+c2 sinC/2≥1/2(a2+b2+c2) (1')asin A/2+bsin B/2+csinC/2≥1/2(a+b+c)(2')a2sin 2A/2+b2 sin 2B/2+c2 sin 2C/2≥1/4(a2+b2 +c2) (3')本刊文[1]给出了以上三个三角形不等式不同风格的证明,但不宜指数推广,本文则给出这三个不等式指数推广的证明,方法异于文[1].首先将不等式(1')及(2')统一推广为:定理1 在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则当指数k≥1,有aksinA/2+bksinB/2+cksinC/2≥1/2(ak+Bk+ck)≥akcos A+bkcos B+ckcos C (Ⅰ)证明 首先分两部分证明不等式链(Ⅰ)中第一个不等式.

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